Статья опубликована в журнале
«Информационный бюллетень ассоциации «История и компьютер».
2003. № 31. С. 266-268
С. А. Нефедов
ПРОСТЕЙШАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ
ДИНАМИКИ ЗЕМЛЕДЕЛЬЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА
Изучению динамики населения
в земледельческом обществе с помощью математических моделей посвящено
значительное количество работ[1].
Однако большинство их этих моделей достаточно сложны и включают в себя
неопределенные параметры, изменение которых существенно влияет на поведение
модели. В этой краткой заметке мы предлагаем вниманию читателя простейшую
дифференциальную модель, не имеющую неопределенных параметров.
Пусть N(t) численность сообщества в момент t, K(t) - запасы зерна после сбора урожая, исчисляемые количеством
минимальных годовых пайков (1 паек - это примерно 240 кг зерна), r - естественный прирост в благоприятных
условиях. Площадь посевов и урожай зависят от численности населения, и при
возрастании населения стремятся к
некоторой константе a,
определяемой максимальной посевной площадью, находящейся во владении земледельческого
сообщества. Мы будем считать, что урожай определяется формулой P=aN/(N+d), где a и d - некоторые
константы. Для описания динамики населения используем обычное логистическое
уравнение
(1)
В этом уравнении К - это емкость экологической ниши, то
есть максимальная численность населения, которое может проживать на территории
сообщества. Очевидно, что в нашем случае эта численность соответствует
количеству запасенных минимальных годовых пайков K(t). За год расходуется N пайков, а прирост запасов будет равен
(2)
Итак, мы имеем простейшую
систему двух дифференциальных уравнений (1)-(2). Эта система имеет положение
равновесия, когда население и запасы остаются постоянными - это точка K0= N0 = a-d.
Если в формуле для dP/dN
устремить N к 0, то мы получим a/d -
урожай (в количестве пайков), получаемый одним земледельцем в благоприятных
условиях (когда население мало и он может обработать максимальную площадь). Таким образом,
величина q= a/d, показывает, сколько
человек (включая и себя) может в благоприятных условиях прокормить один
земледелец (или сколько семей может прокормить одна земледельческая семья). Из
истории аграрных обществ известно, что q обычно
колеблется в пределах 1.2< q <2. Имеет
смысл выразить a и d
через q и N0:
d= N0/(q-1), a= qN0/(q-1).
N0 можно условно приравнять к 1, так
что в этой модели мы имеем две константы r
и q, имеющие реальный смысл и
колеблющиеся в известных пределах: 0,01<r<0.02,
1.2<q<2. Обычные методы исследования динамических систем позволяют
установить, что система (1)-(2) имеет характеристические числа
(во всем диапазоне r и q
величина D<0). Это означает,
что система (1)-(2)порождает затухающие колебания. Первые колебания могут иметь
различный период, но когда кривая приближается к положению равновесия период
близок к
Период T уменьшается при увеличении r и q,
и, соответственно, увеличивается при уменьшении этих величин.
|
q\r |
0.01 |
0.02 |
|
1.2 |
154 |
110 |
|
2.0 |
89 |
63 |
Табл. 1. Период колебаний при
различных r и q (в годах).
В случае, когда
первоначальное население мало, первый цикл может быть намного длиннее обычного,
наличие больших запасов порождает у земледельцев иллюзию благополучия, но когда
запасы истощаются, наступает демографическая катастрофа (рис. 1). За короткое время население может уменьшиться
в 2-4 раза. После катастрофы, в условиях изобилия свободных земель, население
снова возрастает, но чрезмерный рост снова приводит к катастрофе. Второй цикл
по протяженности уже ближе к стандартному периоду T, а падение численности
населения имеет меньшие масштабы. В последующих циклах колебания постепенно затухают,
и уменьшение численности населения уже не имеет катастрофического характера.
Рис. 1 Пример расчета по модели (r=0,01б, p=1,2)
|
q\r |
0.01 |
0.02 |
|
1.2 |
0,46 |
0,33 |
|
2.0 |
0,64 |
0,53 |
Табл. 2. Коэффициент уменьшения амплитуды за один цикл(для циклов
вблизи положения равновесия).
Таким образом, согласно
предложенной модели, динамика земледельческой популяции имеет колебательный
характер. Вблизи положения равновесия
период колебаний порядка столетия, и за один цикл амплитуда уменьшается
примерно в два раза. Хотя в теории эти колебания затухают и система стремится к
состоянию равновесия, на практике различные случайные и не учтенные здесь
воздействия (война, климатические катаклизмы) выводят систему из состояния
равновесия, после чего начинается новая серия затухающих колебаний. Подобная
картина затухающих колебаний была получена ранее Дж. Комлосом и С. А. Нефедовым при анализе роста населения Европы в
XIII-XVIII веках[2].
Автор выражает признательность
профессору П. Турчину за полезное обсуждение работы.
ПРИМЕЧАНИЯ